子供が急に勉強を始めた

マジレスすると、大学受験は塾なしでも可能だけど、中学受験は無理。
小学校では習わないことや教科書に載っていないことが問題に出されるから。
もし本当にお子さんが受験を希望されるなら、それも込みで話し合ったほうがいいよ。